(资料图)

1、推论1: 半圆(弧)和直径所对是90°.　　90°所对弦是直径.　　(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90°圆周角,作其所对弦,即直径.)　　圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.　　同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.　　命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C　　(图略,证明:三角形一等于不相邻两内角和.)　　命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.　　顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其所截弧度数和的一半.　　证明： 命题2的证明[1] 如图，过C作CE//AB。

2、交圆于E，　　则有∠P＝∠DCE，弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)　　而∠DCE的度数等于弧DE的一半。

3、弧DE＝弧BD－弧BE＝弧BD－弧AC　　所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半　　即“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则∠P＝∠BCD－∠B　　∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半　　∠B的度数等于弧AC的度数的一半　　同样得“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”　　圆内角的证明完全类似：　　过C作CE//AB，交圆于E。

4、　　则有∠APC＝∠C，弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)　　而∠C的度数等于弧DE的一半，弧DE＝弧BD＋弧BE＝弧BD＋弧AC　　所以∠APC的度数等于“弧BD＋弧AC”的一半　　即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”　　另外也可以连接BC进行证明　　例题　　　已知：如图。

5、AB是⊙O的直径，AC、AD为 弦，且AD平分∠BAC。

6、若AB=10，AC= 6，　　求AD的长.　　解：连结BD并延长交AC的延长线于点E。

7、连结BC　　∵AB是⊙O的直径　　∴∠ACB=∠ADB=90°　　∴BC⊥AE，AD⊥BE　　又∵AD平分∠BAC　　∴AE=AB，DE=BD　　∵AB= 10。

8、AC= 6　　∴CE= AE-AC= 4 ，　　在Rt△ABC中 BC=8　　在Rt△BCE中，BE=4√5　　∴BD=2√5　　在Rt△ABD中。

9、　　∴AD= 4√5。

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